内接圆圆心是什么交点（内接圆圆心公式）

在本节我们将了解：

1. 内切圆原理
2. 证明三角形角平分线交于一点
3. 三角形内切圆半径公式

三角形内切圆：与三角形各条边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

三角形内切圆的圆心和半径是通过三角形的角平分线交点来确定的。

先复习一下角平分线性质：角平分线上的任意一点，到角两条边的距离相等。

证明如下：

直线AF平分∠BAC，过点F分别作AB和AC的垂线，构成2个直角三角形ΔAGF和ΔAHF

∵ ∠GAF = ∠HAF

∴ ∠AFG = ∠AFH，且两个直角三角形有公共边AF

∴ ΔAGF ≌ ΔAHF（ASA，角边角判定）

∴ FG = FH

证明完毕

以上也等价于：一个点到一个角两条边距离相等，则该点在这个角的角平分线上。

在任意三角形中必然有一个内切圆（也必然有一个外接圆）

过程如下：

1. 做ΔABC任意两个角的角平分线，相交与D点。
2. 过D点作三角形三条边的垂线，分别交E，H，G。
3. 根据角平分线性质可得，DE=DG=DH，这3条线段的长度为内切圆的半径，D点为内切圆的圆心。
4. 以D为圆心，DE为半径作圆即可。

通过三角形内切圆，我们可以证明三角形的三条角平分线交于一点。

∵ DG = DH

∴ D点必然在∠ACB的角平分线上

∴ D点同时在三条角平分线上

∴ ΔABC的三条角平分线交于一点

证明完毕

三角形内切圆半径公式：

S为三角形面积，a，b，c为三角形三条边长度。

已知三角形的三条边，面积可以通过海伦公式获得：

p为三角形的半周长（周长的一半）：

为什么要使用半周长？因为不使用半周长的公式是这样的：

使用半周长后就便于记忆了。（关于海伦公式的推导，我们将会放在讲述三角形的内容中完成）

继续上面的推导，假设AB=a，BC=b，AC=c，连接内切圆圆心D与三个切点，则DE⊥AB，DG⊥BC，DF⊥AC

com

如果是直角三角形，内切圆的半径则容易很多：

如果a，b为直角边，c为斜边，则a2 b2 = c2

直角三角形的内切圆半径为：两条直角边的和减去斜边后的一半。

记住以上的两个公式，特别是直角三角形的，在解题中会事倍功半。

作者并非老师，在辅导孩子数学的这几年中，感觉到现在的数学教学都是切片式的，每个年级讲一点，时间跨度很大，孩子在学习过程中死记硬背，对其原理理解并不透彻。而初中的数学基本功对高中阶段的学习非常重要。所以打算自己来写一些教程，有别于教科书和参考书那样，仅仅是对知识点的罗列，会对每个知识点进行详细的说明，并给出证明过程（这点学校在教学过程中比较缺失）。希望能帮助同学们更好地融会贯通。

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