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1.确定粒子的哈密顿量；写出粒子在整个空间的能量本征方程；利用波函数的自然条件来确定能量特征值和波函数。步骤： 处理的问题： 势阱中的粒子——粒子被束缚在一定的势场中；粒子被势垒散射——无势垒的粒子入射到一定的势场中。 - 一维无限深势阱中的粒子。由于金属表面势能（势垒）的束缚，金属中的电子被限制在有限的空间范围内移动。称为一维无限深方形势阱。 - 如果金属表面的势垒很高，则金属表面可以被视为一个刚性盒子。如果只考虑一维运动，则它是一维刚性盒子。势能函数为： V=0∞∞V(x)x 无限深方形势阱 在势阱中，平稳薛定谔方程的解为： 待定常数 C 和 δ 通过波求解

2.确定函数的自然条件。 V=0∞∞V(x)x 无限深方势阱。设井壁上波函数的连续性条件和本征能量。这个方程的解只能是：在势阱外，平稳薛定谔方程V=0∞ ∞V(x)x无限深的方形势阱由式(3)可得，由式(4)可得。思考：为什么n不取零和负整数？ 1）粒子的能量：能量取离散值（能级），能量是量子化的。能级间隔为：能级增大，能级间隔增大，阱变宽，能级间隔减小 n = 大质量粒子的能级间隔较小 L 很大或 m 很大，则能级几乎连续且最低能量（零点能量）-波势 ∞∞V(x)x2) 势阱中粒子的动量和波长。井宽是半波长的整数倍。稳态波函数由归一化常数 C 和稳态波函数 3) 确定。

3、井内粒子的状态波函数和概率分布。井中粒子的波函数为 ∞∞V(x)x。每个能量本征态对应于德布罗意波（单色波的两个叠加）的特定波长的驻波。波函数是两个频率相同、波长相同、传播方向相反的单色平面波的叠加——形成驻波。势阱中粒子的概率分布：例如，已知质量为m的一维粒子的波函数为： (1)求基态和第四激发态的能量； (2)求粒子的概率密度分布函数； (3) ) 求粒子在基态和第二激发态最可能的位置。从波函数可以看出解。粒子处于宽度为L的势阱中，将波函数代入薛定谔方程，可得粒子的能级 (1) 当n=1时，对应基态的能量为 当n= 5为第四激发态，对应能量

4、是（2）波函数的模平方，即粒子的概率密度为（3）最可能的位置对应概率密度的极值位置，概率密度的一阶导数应该为零。因为基态概率密度为 ，所以可以求解出最可能的位置就是这三个位置之中。可以验证，只有当x=L/2时概率密度最大。第二激发态的概率密度可以作为最可能的位置来求解。也可以验证，只有三个位置的粒子概率密度最大。 2、隧道效应（势垒穿透） 自由粒子遇到的势垒是有限高度和有限宽度的势垒：E

5、到达障碍物时，有一定概率被反射，也有一定概率透过障碍物——隧道效应（障碍物穿透）xU==U0U=0Oa可以证明：Φ(x)可见：m、a，(U0-E)越小，渗透力T越大。当k■a>>1 [m(U0-E)很小时][*示例]：向墙上扔一个经典的球，球从墙上弹回来（当m很大时，T可能很小);[ *示例]: 电子 a=2×10-10m, (U0-E)=1eV 但根据量子力学很小 球可能进入壁 ≈51%。隧道效应只有在一定条件下才会明显。例如，当V0-E=1MeV时，α粒子穿过势垒的穿透速度与势垒宽度的关系为a-10-14米，T=10-2a-10-14米，T =10-

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